Calculer une quatrième proportionnelle et utiliser une échelle
Ce que je vais apprendre cette semaine :
Calculer une quatrième proportionnelle (coefficient, produit en croix) ;
Utiliser une échelle pour passer d'une longueur sur un plan à la longueur réelle, et inversement ;
Mesurer sur un plan de ferme et calculer des distances réelles ; voir le calcul fait par un tableur (démonstration).
La quatrième proportionnelle · notion
4 kg de pommes de terre coûtent 6 €. Combien coûtent 10 kg ?
Deux méthodes
Avec le coefficient : 6 ÷ 4 = 1,5 (€ par kg) ; puis 10 × 1,5 = 15 €. Avec le produit en croix (pratique si le coefficient est compliqué) : on écrit 4 × x = 6 × 10, donc x = (6 × 10) ÷ 4 = 60 ÷ 4 = 15 €.
Quantité (kg)
4
10
Prix (€)
6
x
1Compléter chaque tableau de proportionnalité (choisir ta méthode).
a) Surface → récolte
ha
3
5
t
12
b) Poules → œufs / jour
poules
10
15
œufs
8
c) Masse → prix
kg
4
10
€
6
d) Vaches → lait / jour
vaches
6
10
litres
150
2Trouver l'erreur. Pour calculer le prix de 10 kg (4 kg → 6 €), Léa écrit : 6 × 10 = 60 €.
a) Pourquoi son résultat est-il impossible ? (comparer avec le prix de 4 kg)
b) Le bon calcul et le bon prix :
Les échelles · entraînement
Je retiens — l'échelle d'un plan
Sur un plan à l'échelle 1/200, 1 cm sur le plan représente 200 cm dans la réalité, soit 2 m. Plan et réalité sont proportionnels. Rappels : 100 cm = 1 m · 100 000 cm = 1 km.
Plan (cm)
1
8
Réel (cm)
200
?
3Convertir la longueur du plan en longueur réelle (écrire le calcul en cm, puis en m ou en km).
a) Échelle 1/200 : 8 cm sur le plan → cm = m
b) Échelle 1/500 : 12 cm sur le plan → cm = m
c) Échelle 1/25 000 : 4 cm sur la carte → cm = km
4De la réalité au plan.
L'étable mesure 12 m. Sur un plan à l'échelle 1/200, quelle longueur dessiner ? cm
AIDE 12 m = 1 200 cm ; on divise par 200.
5Trouver l'erreur. Sam affirme : « Sur une carte au 1/50 000, 3 cm représentent 150 m. »
a) Calculer la vraie distance :
b) Sam a-t-il raison ?
Le plan de la ferme · application
Voici le plan d'une exploitation à l'échelle 1/1000 (donc 1 cm sur le plan = 10 m dans la réalité). Mesurer à la règle (au mm près) puis calculer les longueurs réelles.
6Compléter le tableau.
Longueur à mesurer
Mesure sur le plan (cm)
Longueur réelle (m)
Longueur de l'étable
Largeur de l'étable
Longueur du hangar
Distance entre l'étable et le hangar
Chemin de A à B
7Démonstration du tableur (le professeur manipule). Il saisit tes mesures dans la colonne A, tape en B2 la formule =A2*10 (1 cm = 10 m) et la recopie vers le bas.
a) Que contient B2 si A2 vaut 4,5 ?
b) Pourquoi la formule multiplie-t-elle par 10 ?
★Défi — le plan de l'étable à l'échelle 1/200 mesure 6 cm sur 3,5 cm. Quelles sont ses dimensions réelles, en mètres ? Quel serait le périmètre réel ?